     ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
             РосНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ, МОСКВА


               Компьютерная лабораторная работа

                  ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
              В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

                         А.А. ДОЗОРОВ


                       ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

     На заряд q в электрическом поле, напряженность которого E,
действует сила
                          F1 = q∙E  .            (1)
Со стороны магнитного поля, индукция которого B, на движущийся
заряд действует сила Лоренца
                        F2 = q∙[V∙B] ,           (2)
где V - скорость заряда.  Траекторию находим по второму закону
Ньютона, считая известными  начальное  положение  и  начальную
скорость частицы,
                 m∙d¤r/dt¤ = q∙E + q∙[V∙B] .     (3)
     Дифференциальное уравнение  (3)  с  заданными  начальными
условиями описывает движение заряда  в  произвольных  электри-
ческих и магнитных полях.  В некоторых частных случаях уравне-
ние можно решить аналитически,  в общем случае требуется пост-
роить его численное решение.  Решение справедливо,  если  ско-
рость частицы  значительно меньше скорости света.  В противном
случае нужно применять аппарат специальной теории  относитель-
ности.

        УПРАЖНЕНИЕ 1.  ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.

     Упражнение состоит из двух частей.

                  ЭЛЕКТРОН В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ

     На заряд q в электрическом поле E действует сила (1).
Второй закон Ньютона принимает вид:  m∙a = q∙E .
     В постоянном электрическом поле ускорение частицы  посто-
янно.  Заряд движется по параболе,  как масса - гравитационный
заряд - в постоянном поле тяготения. В постоянном гравитацион-
ном поле вблизи поверхности Земли напряженностью поля является
ускорение свободного падения g = 9.8 м/с¤.
     Пусть поле направлено по оси Y.  В этом случае траектория
задается уравнениями:
                       X = Vox∙t + Xo ,
                 Y = 0.5∙a∙t¤ + Voy∙t + Yo ,
где Vox и Voy - проекции начальной скорости на соответствующие
оси координат. Если заряд вылетает из начала координат под уг-
лом А к оси X, то парабола пересечет ось Х в точке
                 X1 = - 2∙Wo∙sin(2∙А) / q∙E  ,
где  Wo = m∙Vo¤/2  - начальная энергия заряда.
     В качестве иллюстрации этого простого движения рассматри-
вается движение электрона, вылетевшего из электронной пушки.
     В электронной пушке  электрон ускоряется разностью потен-
циалов U и приобретает энергию
                       m∙V¤/2 = q∙U .
Масса электрона 0.911е-30 кг, его заряд q = -e = -1.60e-19 Кл.
Из электронной пушки частицы вылетают с некоторым разбросом по
углу, который зависит от конструктивных особенностей пушки.
     Вы можете менять
      - величину поля, в которое влетает заряд,
      - ускоряющее напряжение электронной пушки,
      - угол влета заряда во внешнее поле,
      - угол разброса электронов по углу при вылете из пушки.
     Обратите внимание, что электрическое поле может фокусиро-
вать поток частиц с одной энергией.  Следите за величиной ско-
рости и ускорения заряда.

                   ЗАРЯД В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

     Пусть в начальный момент времени в начале координат нахо-
дится  заряд  q1  массой М1 со скоростью V1(t=0) = 0. В это же
время в точке (Х,Y) движется со скоростью V2(t=0) = V2o  заряд
q2 массой M2.
     Взаимодействие частиц описывает закон Кулона:
                       F = k∙q1∙q2/r¤ .          (4)
     Движение частиц описывает закон Ньютона:
                      Mi∙d¤Ri/dt¤ = Fi ,
где  Ri  и  Fi - радиус-вектор частицы и вектор силы. Согласно
третьему закону  Ньютона F1 = -F2 .  Модули этих сил определя-
ются законом (4). При заданных начальных условиях решение диф-
ференциальных  уравнений в этом упражнении находится численно.
(Иногда ошибки бывают велики.)
     На систему из двух зарядов не действуют внешние силы. По-
этому центр масс системы движется с постоянной скоростью
                 Vc = (M1∙V1+M2∙V2) / (M1+M2) .
     Если рассеивающий центр неподвижен, то налетающая частица
движется либо по эллипсу, либо по гиперболе, либо по параболе.
    Для удобства работы с программой всегда задаем V2oy=-5км/с.
Заряд протона e =1.6e-19 Кл и его массу Мр = 1.67е-27 кг  при-
нимаем за  единицы измерения заряда и массы.  За единицу длины
возьмем 1 Ангстрем.
    В качестве примера сначала рассматривается движение легкой
частицы M2 = Mp с зарядом q2 = -e  в поле тяжелого положитель-
ного центра М1 = 81∙Mp, q1 = +e . Далее вы можете выбирать па-
раметры системы, интересные с вашей точки зрения.
    При выполнении упражнения можно менять масштаб рисунка.

     Оценка за каждое упражнение зависит от того, сколько опы-
тов вы сделаете и как ответите на два вопроса, которые вам за-
даст компьютер в конце упражнения.

          УПРАЖНЕНИЕ 2.  ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

     Упражнение состоит из трех частей.

                   ЗАРЯД В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ

     В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца (2).
     В однородном магнитном  поле,  перпендикулярном  скорости
заряда,  частица движется по окружности.  Движение описывается
вторым законом Ньютона:
                      m∙V¤/R = q∙V∙B .
     Отсюда находим радиус и период обращения заряда  в  одно-
родном поле:
    R = m∙V / q∙B   и   T = 2∙3.14∙R / V = 6.28∙m / q∙B .
Период обращения не зависит от скорости частицы.
     В масс-спектрометре по радиусу траектории определяют мас-
су ядер.  Если частица ускоряется напряжением U, то она приоб-
ретает энергию
                       m∙V¤/2 = q∙U .

             ЗАРЯД В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

     В неоднородном поле радиус кривизны меняется от  точки  к
точке.  Орбита  не  будет замкнутой кривой,  возникает "дрейф"
частицы.  В этом упражнении предлагается  посмотреть  дрейф  в
слабо неоднородном поле,  меняющемся по линейному закону вдоль
одной оси:  В = Во∙( 1 + с∙х/R ) , где Bo, c и R - постоянные,
x - текущая координата.
     Уравнение (3) в данной задаче решается численно.
     При выполнении  упражнения  особое внимание уделите пара-
метру с,  характеризующему скорость изменения магнитного  поля
вдоль оси Х.
     При наблюдении картин, возникающих на экране, попытайтесь
определить  характер  изменения  радиуса кривизны траектории в
различных ее точках.

                   СТАБИЛИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ

     Ускоренные некоторым напряжением ядра влетают в магнитное
поле  и движутся по окружности.  Ее радиус зависит от величины
магнитного поля, от скорости, заряда и массы ядра.
     В реальной установке частицы имеют некоторый разброс угла
влета и величины скорости.  Магнитное поле тоже трудно сделать
одинаковым во всех точках. В ускорителях это приводит к откло-
нению частиц от расчетных траекторий и выходу их на стенки ка-
меры. Для стабилизации траектории создают меняющееся вдоль ра-
диуса магнитное поле.
     В этом упражнении показан принцип стабилизации траектории
в неоднородном поле. При выполнении упражнения обратите внима-
ние  на  стабилизацию  траектории частицы при возрастании поля
вдоль радиуса.
     Имейте в виду, что данное упражнение не демонстрирует ра-
боту ускорителя в целом,  а лишь отражет одну из  деталей  его
работы.

        УПРАЖНЕНИЕ 3.  ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА ПРИ СОВМЕСТНОМ
         ДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ.

     Упражнение состоит из двух частей.

                  ЗАРЯД В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ В И Е

     Считая поля  B и E направленными вдоль оси Y,  из второго
закона Ньютона (3) находим траекторию заряда:
       X = R∙cos(wt) + Xo ,         Z =  R∙sin(wt) + Zo,
       Y = 0.5∙a∙t¤ +  Voy∙t + Yo ,
где радиус вращения R = Voz / w  определяется составляющей ско-
рости  Voz,  нормальной к магнитному полю, и частотой вращения
w = q∙B/m . Ускорение вдоль электрического поля  a = q∙E/m .
     Для упрощения работы с программой всегда  предполагается,
что частица  влетает под углом 30° к магнитному полю В и имеет
составляющую скорости вдоль оси Z.
     Обратите внимаеие, что
      - частица движется по поверхности цилиндра,
      - шаг спирали меняется,
      - частица может изменить направление движения по оси Y.

                   ЗАРЯД В СКРЕЩЕННЫХ В И Е

     В этом упражнении предполагаем поле В направленным по оси
Z,  электрическое поле имеет компоненты Еу и  Еz.  Электрон  с
энергией  W  влетает в поле  под  некоторым  углом к оси  Х  в
плоскости ХZ.
     Движение частицы определяет второй закон Ньютона (3). За-
дача решается аналитически.  Траектория движения электрона за-
дается уравнениями
          X = R∙sin(wt) + Ey/B∙t ,  Y = R∙cos(wt) ,
                    Z = 0.5∙a∙t¤ + Voz∙t ,
где радиус вращения  R = (Vox - Ey/B) / w  определяется состав-
ляющей скорости  Vox,  нормальной к магнитному полю,  частотой
вращения  w = q∙B/m  и полями  Ey и B. Ускорение по оси Z
                       a = q∙Ez / m  .
При своем движении частица вращается по окружности радиуса R в
плоскости XY, а центр окружности движется по параболе в плоско-
сти XZ.
     Обратите внимание на то, что случай параллельных полей  В
и Е можно рассмотреть и в этой задаче.  Только по методическим
соображениям параллельные поля вынесены в отдельное упражнение.
                                                               
                     Л И Т Е Р А Т У Р А

  Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физи-
         ке. Т.6, Электродинамика.- М.: Мир, 1977.
  Линднер Г. Картины современной физики. - М.: Мир, 1977.
  Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике.
         - М.: Наука, 1970.
  Сивухин Д.В. Электричество. - М.: Наука, 1983.
  Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю.  Движение заряженных частиц в
         электрических и магнитных полях. - М.: Наука, 1972.
  Физический энциклопедический словарь.- М.: Сов. энциклопедия,
         1983. Статьи "Масс-спектрометр" и "Электронные линзы".
