     ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
             РосНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ, МОСКВА


              Компьютерная  лабораторная работа

              СИЛОВЫЕ ЛИНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
               И ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
                   СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ

                         А.А. ДОЗОРОВ


                       ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

    Система точечных зарядов,  находящихся в вакууме, является
наиболее простой для  изучения.  Напряженность  электрического
поля E1 и потенциал f1 , создаваемые одним точечным зарядом q1
на расстоянии R от него, задаются выражениями
            E1 = k∙q1 / R¤   и   f1 = k∙q1 / R   ,   (1)
где постоянная  k  зависит от выбора системы единиц и входит в
закон Кулона. Напряженность поля является векторной величиной,
а потенциал - скалярной.  Принцип суперпозиции определяет  на-
пряженность и потенциал произвольной системы зарядов:
        E = E1 + E2 + ...    и   f = f1 + f2 + ...  .
     Потенциал и напряженность поля связаны между собой:
                        E = - grad f .
В частности, проекция поля на ось ОХ равна  Ex = - df/dx .
     По определению  в каждой точке вектор E касателен к сило-
вой линии поля. Для построения силовой линии в некоторой точке
определяем направление  вектора  E,  в этом направлении рисуем
короткий отрезок,  конец этого отрезка становится новой исход-
ной точкой для построения следующего участка силовой линии.
     Силовые линии начинаются на положительных зарядах и окан-
чиваются на отрицательных ( или уходят на бесконечность ).
     Понятие "силовые линии" для электрических и магнитных по-
лей ввел М. Фарадей.
     Поверхность, на которой потенциал имеет постоянное значе-
ние, называют  эквипотенциальной.  В каждой точке эквипотенци-
альной поверхности вектор  напряженности  перпендикулярен  ей.
Это свойство может являться основой алгоритма построения экви-
потенциальных поверхностей.  В компьютерном варианте часто вы-
бирают другой  алгоритм.  В  желаемой точке находим потенциал,
окружаем выбранную точку контрольными точками, в которых опре-
делям значения потенциала. Находим, в какой из контрольных то-
чек потенциал наиболее близок к  потенциалу  выбранной  точки.
Затем соединяем эти две точки отрезком,  конец которого стано-
вится новой исходной точкой для выполнения той же процедуры. В
результате на дисплее появляется эквипотенциальная линия - се-
чение эквипотенциальной поверхности плоскостью экрана.
     Программа строит силовые линии  и  эквипотенциальные  по-
верхности в выбранных вами точках для произвольной системы то-
чечных зарядов.
     Работа состоит из четырех упражнений.

          УПРАЖНЕНИЕ 1.   ПОЛЕ ДВУХ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ

     Силовые линии радиально уходят от одного заряда,  а экви-
потенциальные поверхности представляют  собой  концентрические
сферы. Этот  случай  достаточно прост и специально в работе не
рассматривается. Следующей по сложности  является  система  из
двух произвольных  точечных зарядов.
     Рассмотрите два  заряда  одного знака.  Меняйте отношение
зарядов.  Наклон силовых линий явно  выделяет  асимптотические
прямые.  От чего зависит и чему равен  угол между асимптотой и
отрезком, соединяющим заряды?  Постройте эквипотенциальные по-
верхности вблизи и вдали от зарядов.
     Повторите те же действия для зарядов разных знаков.
     Обратите внимание на поведение силовых линий и эквипотен-
циальных поверхностей с разных сторон от особых точек, в кото-
рых поле равно нулю.
     Два равных по величине, но противоположных по знаку заря-
да образуют диполь. Такая, в целом нейтральная система, созда-
ет  на  больших расстояниях достаточно слабое поле.  Потенциал
диполя на больших расстояниях убывает обратно  пропорционально
квадрату расстояния (сравните с выражением (1)).
     Дипольным моментом системы зарядов называют вектор
                  p = q1∙r1 + q2∙r2 + ... ,          (2)
где ri - радиус-вектор,  проведенный из начала координат к за-
ряду qi. В частном случае диполя ( q = q1 = -q2 > 0 ) получим
                   p = q∙(r1 - r2) = q∙l .
Вектор l направлен от отрицательного к положительному заряду.
     Обязательно посмотрите  силовые линии и эквипотенциальные
поверхности диполя.
     В конце каждого упражнения компьютер сформулирует две за-
дачи по  теме  упражнения.  На ввод ответа дается три попытки.
Оценка за работу зависит от числа проделанных  вами  опытов  с
зарядами и от того, как вы решите задачи.
     

                  УПРАЖНЕНИЕ 2.   КВАДРУПОЛЬ

     Если на больших расстояниях потенциал системы убывает об-
ратно пропорционально расстоянию в степени (n+1),  где n - це-
лое число, то систему называют мультиполем n-го порядка. В об-
щем случае распределение заряда в пространстве является непре-
рывным. Мультиполь  высокого  порядка,  как правило,  обладает
высокой степенью симметрии распределения заряда.
     Если система  состоит из точечных зарядов,  то можно ука-
зать простой алгоритм построения мультиполей высшего порядка.
     Один заряд создает потенциал, описываемый выражением (1).
Отсюда получаем показатель n=0. Один заряд называют монополем,
это мультиполь нулевого порядка.
     Если мультиполь (n-1)-го порядка перенести в пространстве
параллельно самому себе и у всех зарядов изменить знак, то по-
лучившаяся система из двух мультиполей образует мультиполь по-
рядка n.
     Если сдвинем монополь (один заряд) и  изменим  его  знак,
получим диполь  (n=1,  мультиполь первого порядка,  система из
двух зарядов).  Если сдвинем диполь и поменяем знаки  зарядов,
получим  систему  из четырех зарядов (квадруполь),  являющуюся
мультиполем второго порядка.  Так же из квадруполя получим си-
тему из восьми зарядов (октуполь, n=3). Обратите внимание, что
при таких построениях число зарядов в системе удваивается. Од-
нако если при сдвиге поместить один заряд на другой, то удвое-
ния уже не получится.
     Это упражнение обучает построению квадруполей из точечных
зарядов. Компьютер будет  указывать  ваши  ошибки.  Простейший
квадруполь  состоит  всего из трех зарядов.  Заряд и дипольный
момент квадруполя равны нулю.
     Постройте линейный квадруполь, затем плоский. Меняйте ве-
личину переноса диполя. Обратите внимание на форму распределе-
ния силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.  Не  забы-
вайте, что на экране плоская картина. Как выглядят построенные
картины во всем трехмерном пространстве?

                   УПРАЖНЕНИЕ 3.   ОКТУПОЛЬ

     Ваша задача - научиться строить октуполь. Процедура пост-
роения описана в упражнении 2.
     Простейший октуполь состоит из четырех зарядов. Начните с
него. Затем  усложняйте  картину. Если у  вас получилась инте-
ресная форма октуполя или очень красивые силовые линии, то по-
зовите преподавателя.

           УПРАЖНЕНИЕ 4. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО ЗАРЯДОВ

     В этом  упражнении  вам предоставляется возможность выби-
рать произвольную систему точечных зарядов. Компьютер построит
силовые линии и эквипотенциальные поверхности.
     Выбирайте системы зарядов, которые вам чем-то интересны.
     Поместив 6 зарядов на одну линию, вы смоделируете плоскую
пластину. Обратите внимание на  поведение  линий  поля  вблизи
края "пластины". Постройте несколько эквипотенциальных поверх-
ностей.
     Две пластины с противоположными по знаку зарядами образу-
ют конденсатор.  Посмотрите краевой эффект в конденсаторе. Как
сильно расстояние между пластинами влияет на однородность поля?
     Построив острый выступ,  вы увидите поведение поля вблизи
острия.
     Действуйте смелее,  пытайтесь уловить  закономерности  на
получающихся картинах.

                          ЗАМЕЧАНИЕ

     Алгоритм построения силовых линий и эквипотенциальных по-
верхностей достаточно прост.  Часто эта работа является первым
пробным  камнем при компьютерном моделировании физических про-
цессов.  Попробуйте самостоятельно написать аналогичную  прог-
рамму.
     Однако в этой простой программе возникает несколько  нео-
жиданностей.
     Так, при построении силовых линий можно попасть в  точку,
в которой напряженность поля обращается в нуль. Вектор нулевой
длины уже не указывает направления силовой линии.  Куда  же  в
этом случае  ее  вести?  Оказывается,  что можно пойти по трем
направлениям: либо по прямой вдоль линии,  пришедшей в  особую
точку, либо перпендикулярно ей в одну или другую сторону. Если
вы свернете перпендикулярно к силовой линии, то получится осо-
бая -  асимптотическая - линия,  которая разделит пространство
на две области. В одной области все силовые линии идут к заря-
дам противоположного знака, а в другой силовые линии уходят на
бесконечность. В разработанной программе такие асимптоты иног-
да появляются на экране.
     При рисовании эквипотенциальных поверхностей программиста
тоже подстерегают  неожиданности,  связанные с выбранным алго-
ритмом построения.
     Если эквипотенциальная поверхность проводится перпендику-
лярно напряженности поля в данной точке, то, рисуя поверхность
с малым перемещением от одного места экрана до другого,  прог-
рамма непрерывно накапливает ошибку. В результате вы не верне-
тесь в точку, из которой начали построения.
     Более надежным  методом  построения эквипотенциальной по-
верхности является метод окружения текущей  точки  несколькими
другими, в которых проверяется близость потенциала к потенциа-
лу отправной точки. Однако иногда программа, нарисовав участок
поверхности,  разворачивается на 180 градусов и возвращается в
исходную точку точно по уже пройденному пути,  что обусловлено
симметрией окружения текущей точки.
     В настоящей  программе  для устранения описанных эффектов
используются одновременно оба алгоритма. Эквипотенциальная по-
верхность строится перпендикулярно силовой линии, и в несколь-
ких ближайших точках контролируется близость потенциала  к по-
тенциалу исходной точки.

     Автор благодарен  своим студентам,  с большим энтузиазмом
пробовавшим смоделировать поле системы точечных зарядов. Толь-
ко в результате обсуждений со студентами тонкостей этой задачи
автор решил изготовить собственный вариант программы.

                     Л И Т Е Р А Т У Р А

     1. Сивухин Д.В.. Электричество. - М: Наука. 1983.
     2. Матвеев А.Н.. Электричество и магнетизм.
              - М: Высшая школа. 1983.
     3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.. Фейнмановские лекции
        по физике. Том 6. Электродинамика. - М: Мир. 1977.

